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ANHANG

Sammlung und Erklärung wichtiger mathematischer Zusammenhänge in der Obertonreihe

 

Formel 1: Anzahl Obertöne pro Oktavraum X = 2 ^(n-1) ; wobei 2^0 = 1, n = Oktavraum

Bsp.: Im 3. Oktavraum befinden sich 2 ^(3-1) = 4 Obertöne ( c, e, g, b- )
Bei den Obertönen zählt der Grundton nicht mit, bei den Teiltönen zählt der Grundton als 1. Teilton.

Ausführung:
Eine graphische Darstellung macht sichtbar, wie sich die Frequenz eines Teiltones zu seiner Tonhöhe verhält. Bei jeder Frequenzverdopplung des Grundtons ist eine weitere Oktave erreicht.
So ist beim Grundton mit 64 Hz ( 1 Hertz (Hz) = 1 Schwingung pro Sekunde) bei
128 Hz, 256 Hz, 512 Hz, 1024 Hz, 2048 Hz und 4096 Hz jeweils die
1., 2., 3., 4., 5. und 6. Oktave erreicht.
Die einzelnen Teiltöne hingegen schreiten linear mit jeweils zusätzlichen 64 Hz nach oben (je höher die Frequenz, desto höher ist der Ton), sodaß im jeweils nächsthöheren Oktavraum mehr Teiltöne auftreten als in dem vorigen Oktavraum. Es ist eine nach Formel1 definierte, diskrete Anzahl von Teiltönen pro Oktavraum vorhanden. Nach oben hin werden die Tonhöhenunterschiede fürs Ohr zu klein, als daß sie noch wahrgenommen werden könnten. 50 Cent sind noch gut unterscheidbar.
Die Orientierung in den Oktavräumen durch die Angabe der Notennamen der Töne erfolgt durch die Umrechnung nach der Gleichschwebend Temperierten Stimmung. Hier sind die im europäischen Tonsystem gebräuchlichen kleinsten Tonabstände Halbtonschritte. Es ergibt sich eine Obertonreihe, deren Teiltöne ab und an mit Halbtönen der chromatischen Leiter übereinstimmen, oft aber etwas darüber oder etwas darunter liegen und zusätzlich noch kleinere Tonschritte auftreten als es einem chromatischen Halbtonschritt entspräche. So ist das Intervall zwischen 34. u. 35 Teilton ein Viertelton.
Diese Umstände machen sich schon ab dem 7. Oberton bemerkbar, der einem etwas tiefer gestimmten b entsricht ( b- ). Das Intervall c nach b- entspricht der natürlichen Septime mit dem Saitenverhältnis 7:4


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