Tools
Obertonbrevier
Soundbeispiele
Tuvas
Noten
Buchtips
CD-Tips
ARS NOVA
Weblinks
www.oberton.info

| impressum | feedback | guestbook | home |  

Formel2 zur Berechnung der Frequenz eines Tones nach einem Intervallsprung [Hz]:

Die Frequenz des Grundtons wird mit dem entsprechenden Intervallfaktor multipliziert. Man erhält die Tonhöhe [Hz] des berechneten Intervalls für die jeweilige Stimmung:
Tonhöhe des Intervalls = Intervallfaktor * Grundfrequenz (Prime);
z.B.: Oktave = 64 Hz * (2:1) = 128 Hz

Heutzutage wird Einteilung der Oktave in Centwerten in der gleichschwebend temperierten Stimmung vorgenommen. Dies bedeutet:
1200 Cent = 1 Oktave zu 12 Halbtonschritten á 100 Cent und 24 Virteltonschritten á 50 Cent. Es gibt natürlich auch 1/3 oder 1/6 Tonschritte mit entsprechenden Centwerten. Hier gibt es dann nur gleichmäßige Abstände zwischen den einzelnen Tonstufen und die enharmonische Verwechslung.

Formel(n)3 zur Berechnung von Intervallen in Centwerten (Oktave = 1200 Cent) [Cent]:

Höhere Frequenz/Niedrigere Frequenz = Intervallfaktor * Centwert;

wobei der Intervallfaktor der Quotient aus den Teiltönen (bzw. Intervallverhältnissen, die sich aus den Grundzahlen 2; 3 und 5 ergeben) ist, aus denen das Intervall gebildet wird.

z. B. möchten wir errechnen, wie groß der Unterschied zwischen zwei Intervallen ist, denen verschiedene Stimmungen zugrunde liegen. Intervall 1, eine pythagoräisch diatonische Septime mit dem Intervallverhältnis 16:9 und Intervall 2 eine natürliche Septime mit dem Intervallverhältnis 7:4. Der Grundton habe die Frequenz von 512 Hz.

Nach Formel2 bekommen wir für die Intervalle folgende Frequenzen:

pythagoräisch diatonische Septime : 512*(16/9) = 910 Hz und die natürliche Septime: 512*(7/4) = 896 Hz.

Die Differenz ergibt -14 Hz zwischen Intervall1 und Intervall2. Setzen wir nun das Verhältnis der errechneten Frequenzen in eine der beiden Formel(n)3 ein, so erhalten wir 3986,3137*Log(910/896)=26 Cent.

dies ist der Abstand der natürlichen Septime, einem tiefen b''- mit 896 Hz, zur diatonischen Septime, einem b'' mit 910 Hz Differenz = -26 Hz. Diese errechneten 26Cent entsprechen 1/8 Ganztonschritt. Dieser Unterschied ist durchaus wahrnehmbar. Warum das Ganze?

Kleiner Exkurs zur Beschreibung verschiedener Tonsysteme:

Angelehnt an unser Beispiel des Vergleichs zwischen Intervallen aus dem Harmonischen Tonsystem (Obertonreihe) und dem Diatonischen Tonsystem (Diátonos = durch Ganztöne <gehend>) die Chronologie und kurze Beschreibung der verschiedenen Tonsysteme.

Das pythagoräisch Diatonische Tonsystem

Im Diatonischen Tonsystem geschieht die Einteilung der Oktave in 5 Ganztonschritte und 2 Halbtonschritte. Dies ist bei der Durskala, im natürlichen und melodischen Moll und in den Kirchenmodi auch der Fall. Intervalle, die sich aus dem Diatonischen Tonsystem ableiten lassen, werden diatonische Intervalle genannt, so zum Beispiel die reine Quarte mit dem Verhältnis 4/3, die Quinte mit dem Verhältnis 3/2, die Oktave mit dem Verhältnis 2/1, die große Sekunde (9/8), die kleine Sekunde (256/243), gr. Terz (81/64), kl. Terz (32/27), gr. Sexte (27/16), kl. Sexte (128/81), die kl. Sept (16/9) und gr. Sept (243/128). Der Tritonus wird als übermässige Quart (729/512) oder verm. Quint (1024/729) berechnet und zählt so zu den chromatischen Intervallen (Erhöhung oder Erniedrigung eines Intervalls um einen Halbtonschritt (256/243)) entgegen des Namens des Tonsystem, daß ja von Ganztonschritten ausgeht. Die Diatonik bildete zusammen mit der Chromatik und der Enharmonik die Grundlage der griechischen Tonordnung (Systema teleion). Allen diesen Tonsystemen liegt der Quartrahmen (Tetrachord = Vierton<folge>). Die mit diesem System geschaffene griechische Musik reicht ca. 3000 Jahre zurück. Alle hier genannten Intervallproportionen haben Produkte oder Potenzen der Oktave, Quinte (Quarte) als Grundlage und gelangen durch Oktavtransposition zurück in den Umfang der Okatve als Tonleitergebilde (Beispiele weiter unten). Sie begnügen sich mit den ersten 4 Tönen der Partialtonreihe. Jeder acapella Chor (z. B. Gregorianik) singt unwillkürlich in der pythagoräisch diatonischen Stimmung!

Je nach Anordnung der beweglichen Töne innerhalb des feststehenden Rahmenintervalls der Quarte (4/3) gehört das Tetrachord zur Diatonik: Halbton-Ganzton-Ganzton,
zur Chromatik: Kleine Terz-Halbton-Halbton, oder
zur Enharmonik: Große Terz-Viertelton-Viertelton.

Die Entwicklung des modernen europäischen Tonsystems

Wenn wir uns nun die o.g. Intervallproportionen genauer ansehen fällt auf, daß sich sowohl die Quarte, Quinte, gr. Sekunde, kl. Sept, als auch die Oktave mit den ersten 16 Tönen der Teiltonreihe abbilden lassen. So sind die eben genannten harmonischen Intervalle äquivalent zu den diatonischen Intervallen. Nur die Terzen (5/4 und 6/5) sind erst im 11. Jahrhundert n. Chr. in die Musikpraxis eingezogen, weil sich das europäisch-klangliche Tonempfinden geändert hatte. Zuvor konnte diese Änderung nicht stattfinden, weil die Instrumente vorwiegend melodisch gestimmt waren.

Im Zentrum des klassischen europäischen Tonsystems steht nun nicht mehr nur der Ton, sondernder Dreiklang. Das Tongeschlecht wird nicht mehr durch die Haupttöne, sondern durch die Hauptdreiklänge charakterisiert, indem Dreiklangskadenzen gebildet werden (z. B. die I-IV-V-I Verbindung = 6:8:9:12). Deswegen schlug Ernst Pepping auch vor, den Begriff der Tonalität in Tonikalität zu ändern!

Zu unserem Tonsystem gelangen wir, wenn wir über den Hauptstufen die einzig möglichen vollkonsonannten dreiklänge errichten, also entweder den in der Partialtonreihe vorgebildeten Durdfreiklang (4:5:6) oder den Molldreiklang (10:12:15). Dies ergibt die Tongeschlechter Dur und das natürliche Moll. Ordnen wir die Quintbeziehungen entsprechend an, so ergibt sich

Das ist der Kern des neueren abendländischen Musizierens, wobei die Kirchenmodi trotz des ihrem Wesen nach melodischen Aufbaus völlig vom Dur/Moll-System aufgesogen wurden.

Durch Einbeziehung des 5. und 6. Partialtons zur Bildung des neuen europäischen Tonsystems änderten sich nun auch die Intervallproportionen und die große Sekunde bekommt Gesellschaft, so gibt es den großen Ganztonschritt mit dem bekannten Verhältnis 9/8 und den kleinen Ganztonschritt mit dem Verhältnis 10/9. Der Halbtonschritt hat nun das Verhältnis 16/15. So setzt sich dieses neue System zusammen:

Ableitung der relativen Schwingungszahlen aus den Verhältnissen der Hauptdreiklänge (nach Simbriger und Schuhmann):

Es ist die reine harmonische diatonische 7-Tonleiter entstanden.

   © 2020 by Matthias Birkicht • Matthias.Birkicht@Bremerhaven.de